Flashcard FC367856
Como verificar se o produto A·B é uma matriz simétrica?
Matrizes
Instituto Consulplan · 2025
Como verificar se o produto A·B é uma matriz simétrica?
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Resposta
Verifique se \( (AB)^T = AB\), isto é, iguale as entradas correspondentes fora da diagonal.Como \( (AB)^T = B^T A^T\), o produto é simétrico quando \(B^T A^T = AB\). Na prática calcule \(AB\) e compare cada \((AB)_{ij}\) com \((AB)_{ji}\); em matrizes 2×2 basta igualar o elemento acima da diagonal ao correspondente abaixo dela.
exemplo
Se \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}1 & y\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}\), então
\(AB=\begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot3 & 2\cdot y+1\cdot2\\[4pt]1\cdot1+0\cdot3 & 1\cdot y+0\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 2y+2\\[4pt]1 & y\end{pmatrix}.\)
Igualando os elementos fora da diagonal: \(2y+2=1\Rightarrow 2y=-1\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}\).
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