Flashcard FC367857
Se \(C=B^{-1}AB\) e \(p(x)\) é um polinômio matriz, qual a relação entre \(\det(p(C))\) e \(\det(p(A))\)?
Matrizes
Instituto Consulplan · 2025
Se \(C=B^{-1}AB\) e \(p(x)\) é um polinômio matriz, qual a relação entre \(\det(p(C))\) e \(\det(p(A))\)?
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Resposta
\(\det(p(C))=\det(p(A))\).Explicação:
Como \(C=B^{-1}AB\) e polinômios matriciais preservam similaridade, tem-se \(p(C)=B^{-1}p(A)B\).
Como \(\det(B^{-1}M B)=\det(M)\) para toda matriz \(M\) invertível \(B\), segue \(\det(p(C))=\det(p(A))\).
Exemplo:
Se \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) e \(p(x)=x^2+2x\), então
\(p(A)=\begin{bmatrix}2^2+2\cdot2&0\\0&3^2+2\cdot3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&0\\0&15\end{bmatrix}\).
Logo \(\det(p(A))=8\cdot15=120\).
Como \(p(C)=B^{-1}p(A)B\), temos \(\det(p(C))=\det(p(A))=120\).
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