Flashcard FC367878
Como usar congruências modulares para restringir soluções inteiras não-negativas de uma equação linear do tipo \(px+qy=r\)?
Sistemas Lineares
Instituto Consulplan · 2024
Como usar congruências modulares para restringir soluções inteiras não-negativas de uma equação linear do tipo \(px+qy=r\)?
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Resposta
Reduza a equação, aplique um módulo sobre um coeficiente para obter uma congruência, resolva-a para parametrizar a variável e então imponha as condições de não‑negatividade.Aplicação prática:
1) Reduza para duas variáveis (se houver terceira, substitua pela soma).
2) Escolha um módulo (geralmente o coeficiente de uma variável) e obtenha a congruência para essa variável.
3) Escreva a solução geral (parametrizada) e substitua na equação para expressar a outra variável em função do parâmetro.
4) Imponha as condições de não‑negatividade para limitar os valores do parâmetro.
Exemplo:
Resolver em inteiros não‑negativos \(8x+3y=50\).
Módulo 3: \(8x\equiv50\pmod{3}\Rightarrow 2x\equiv2\pmod{3}\Rightarrow x\equiv1\pmod{3}\).
Logo \(x=1+3k\) com \(k\in\mathbb{Z}\).
Substituindo: \(y=\dfrac{50-8x}{3}=\dfrac{50-8(1+3k)}{3}=\dfrac{42-24k}{3}=14-8k\).
Impondo \(y\ge0\) e \(x\ge0\) dá \(k\le1\) e \(k\ge0\). Assim \(k=0,1\).
Soluções: \(k=0\Rightarrow (x,y)=(1,14)\); \(k=1\Rightarrow (x,y)=(4,6)\).
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