Flashcard FC367894
Como usar o determinante e a relação entre linhas para decidir se, para um dado k, um sistema linear quadrado é impossível ou possível e indeterminado?
Sistemas Lineares
Instituto Consulplan · 2024
Como usar o determinante e a relação entre linhas para decidir se, para um dado k, um sistema linear quadrado é impossível ou possível e indeterminado?
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Resposta
det(A)=0 identifica valores singulares; se det(A)≠0 há solução única; se det(A)=0 compare os postos: iguais e menores que n → infinitas soluções; diferentes → impossível.Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}\). Temos \(\det A=4-2k=2(2-k)\).
Para \(k\neq2\): \(\det A\neq0\) → solução única.
Para \(k=2\): \(A=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]2&4\end{pmatrix}\) (linhas proporcionais).
Se \(b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}\), então \(b_2=2b_1\) → \(\text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])=1<2\) → infinitas soluções.
Se \(b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]7\end{pmatrix}\), então \(b_2\neq2b_1\) → \(\text{rank}(A)=1<\text{rank}([A|b])=2\) → impossível.
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