Se um polinômio monico Q(x) divide A(x) e B(x), o que se pode afirmar sobre qualquer combinação linear pA(x)+qB(x)?

Toda combinação linear \(pA(x)+qB(x)\) é divisível por \(Q(x)\).

Se além disso \(pA+qB=k\cdot S(x)\) com \(k\in\mathbb{Z}\) e \(Q(x)\) é monico com coeficientes inteiros, então \(Q(x)\) não pode dividir o constante \(k\) e, portanto, divide \(S(x)\); se \(\deg S=\deg Q\), segue que \(Q=S\).

Exemplo:
Considere \(Q(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\), \(A(x)=(x+1)^2(x^2+1)\) e \(B(x)=3(x+1)^2(x+2)\).
Então
\(2A(x)-B(x)=(x+1)^2\big(2(x^2+1)-3(x+2)\big)\)
\(=(x+1)^2(2x^2-3x-4)\).
Portanto \(Q(x)\) divide \(2A-B\); como \(Q\) é monico de grau 2 e divide o fator de grau 2 que aparece, conclui-se que esse fator contém exatamente \(Q(x)=(x+1)^2\).