Como determinar o valor de x quando os lados de um retângulo são proporcionais a a:b e um fio de comprimento L dá k voltas no seu entorno?

Procedimento direto: calcular o perímetro por volta \(P=\dfrac{L}{k}\), escrever \(P\) em função de \(x\) usando a proporção e resolver para \(x\).

Explicação e exemplo:
Perímetro de um retângulo cujos lados são \(ax\) e \(bx\):
\(P=2(ax+bx)=2(a+b)x\).
Se o fio total tem comprimento \(L\) e dá \(k\) voltas, cada volta tem comprimento \(L/k\). Logo:
\(2(a+b)x=\dfrac{L}{k}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{L}{2k(a+b)}\).

Exemplo: lados na razão 5:2, fio total \(L=126\) m e \(k=3\) voltas.
\(P_{\text{por volta}}=\dfrac{126}{3}=42\) m.
Perímetro em função de \(x\): \(2(5+2)x=14x\). Então \(14x=42\Rightarrow x=3\) m.
Medidas: \(5x=15\) m e \(2x=6\) m. Área: \(15\times6=90\ \text{m}^2\).