Se as dimensões lineares de uma figura plana são multiplicadas por k, por qual fator a área é multiplicada?

Multiplicada por \(k^{2}\).

Explicação e exemplo:
Se as dimensões lineares são multiplicadas por \(k\), então, para um retângulo com lados \(l\) e \(w\):
\(A_{0}=l\cdot w\)
\(A_{1}=(kl)\cdot(kw)=k^{2}lw=k^{2}A_{0}\)

Exemplo:
Retângulo inicial: \(3\ \text{m}\times4\ \text{m}\Rightarrow A_{0}=3\cdot4=12\ \text{m}^{2}\)
Com fator \(k=1{,}5\): novas dimensões \(4{,}5\ \text{m}\) e \(6\ \text{m}\).
\(k^{2}=1{,}5^{2}=2{,}25\)
\(A_{1}=k^{2}A_{0}=2{,}25\cdot12=27\ \text{m}^{2}\)