Flashcard FC368008
Que figura plana tem todos os pontos da borda à mesma distância do centro e é invariante por rotações em torno desse centro?
Geometria Plana
Instituto Consulplan · 2025
Que figura plana tem todos os pontos da borda à mesma distância do centro e é invariante por rotações em torno desse centro?
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Resposta
Círculo.O círculo é o conjunto de pontos equidistantes de um centro; para centro na origem e raio \(r\) satisfaz \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\).
Uma rotação de ângulo \(\theta\) leva \((x,y)\) em \((x',y')=(x\cos\theta-y\sin\theta,\;x\sin\theta+y\cos\theta)\) e preserva a distância, pois \(x'^{2}+y'^{2}=x^{2}+y^{2}=r^{2}\).
Qualquer reta que passe pelo centro é eixo de reflexão, portanto o círculo tem simetria radial e central.
Exemplo: Considere um alvo circular de raio 5: a equação é \(x^{2}+y^{2}=25\).
O ponto \((3,4)\) está na borda porque \(3^{2}+4^{2}=25\).
Rotacionando 90° obtém-se \((-4,3)\) e \((-4)^{2}+3^{2}=25\), logo o ponto continua na borda — mostrando a invariância por rotação.
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