Como se determina o centro da circunferência circunscrita a um triângulo no plano cartesiano?

Interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.

Explicação:
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.
Construindo as mediatrizes de dois lados do triângulo e calculando sua interseção obtém-se o centro da circunferência circunscrita.
O raio é a distância desse centro a qualquer vértice do triângulo.
Se o sólido for uma semiesfera, o volume é \(V=\tfrac{2}{3}\pi r^3\).

Exemplo:
Sejam \(P(0,0),\;Q(4,0),\;R(0,6)\).
Mediatriz de \(PQ\): ponto médio \((2,0)\); como \(PQ\) é horizontal, a mediatriz é \(x=2\).
Mediatriz de \(PR\): ponto médio \((0,3)\); como \(PR\) é vertical, a mediatriz é \(y=3\).
Interseção das mediatrizes: centro \((2,3)\).
Raio: \(r=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}\).
Volume da semiesfera correspondente: \(V=\tfrac{2}{3}\pi r^3=\tfrac{2}{3}\pi(\sqrt{13})^3=\tfrac{26}{3}\pi\sqrt{13}.\)