Em polígonos regulares semelhantes, como se relacionam as áreas e os perímetros?

As áreas são proporcionais ao quadrado dos perímetros: \(A=kP^2\) (mesmo \(k\) para polígonos semelhantes).

Explicação:
Se dois polígonos regulares são semelhantes, então \(\dfrac{A_1}{A_2}=\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^2\).
Logo existe \(k\) tal que \(A_i=kP_i^2\) e \(\sqrt{A_1A_2}=kP_1P_2\).

exemplo:
Dois hexágonos regulares com \(P_1=12\) e \(P_2=18\). Para o hexágono \(k=\dfrac{\sqrt3}{24}\).
\(A_1=k\cdot12^2=(\sqrt3/24)\cdot144=6\sqrt3\).
\(A_2=k\cdot18^2=(\sqrt3/24)\cdot324=13.5\sqrt3\).
\(\sqrt{A_1A_2}=kP_1P_2=(\sqrt3/24)\cdot(12\cdot18)=9\sqrt3\).