Como se calcula a área de um polígono no plano a partir das coordenadas dos seus vértices usando a fórmula de Gauss (shoelace)?

Resposta

Usa-se a fórmula de Gauss: \(A=\tfrac12\left|\sum_{i=1}^n x_i y_{i+1}-\sum_{i=1}^n y_i x_{i+1}\right|\), com os vértices em ordem cíclica e \(x_{n+1}=x_1\), \(y_{n+1}=y_1\).

Explicação passo a passo:
1. Ordene os vértices ciclicamente (sentido horário ou anti-horário).
2. Calcule \(S_1=\sum x_i y_{i+1}\) e \(S_2=\sum y_i x_{i+1}\) fechando o polígono com o primeiro vértice.
3. A área é \(A=\tfrac12|S_1-S_2|\).

Exemplo:
Vértices: \((1,1),(4,2),(3,5),(0,4)\). Fechando para \((1,1)\):

\(S_1=1\cdot2+4\cdot5+3\cdot4+0\cdot1=2+20+12+0=34\)

\(S_2=1\cdot4+2\cdot3+5\cdot0+4\cdot1=4+6+0+4=14\)

\(A=\tfrac12|34-14|=\tfrac12\cdot20=10\) unidades de área.