Como calcular o tempo t em juros compostos para que o montante de uma aplicação ultrapasse o de outra com capitais e taxas diferentes?

Isolar t com logaritmos: partir de \(C_1(1+i_1)^t>C_2(1+i_2)^t\) obtém-se \(t=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{C_2}{C_1}\right)}{\ln(1+i_1)-\ln(1+i_2)}\) (quando \(i_1>i_2\)).

Explicação e exemplo:
1) Escreva os montantes: \(M_1=C_1(1+i_1)^t\) e \(M_2=C_2(1+i_2)^t\).
2) Forme a desigualdade \(C_1(1+i_1)^t>C_2(1+i_2)^t\).
3) Divida por \(C_1(1+i_2)^t\) para ter \(\left(\dfrac{1+i_1}{1+i_2}\right)^t>\dfrac{C_2}{C_1}\).
4) Aplique ln: \(t\ln\!\left(\dfrac{1+i_1}{1+i_2}\right)>\ln\!\left(\dfrac{C_2}{C_1}\right)\) e isole t.

Exemplo: seja \(C_1=5{.}000\), \(i_1=15\%\) e \(C_2=20{.}000\), \(i_2=10\%\).
Temos \(\left(\dfrac{1{,}15}{1{,}10}\right)^t>4\), logo
\(t=\dfrac{\ln 4}{\ln(1{,}15)-\ln(1{,}10)}\approx\dfrac{1{,}3863}{0{,}1398-0{,}0953}\approx31{,}18\) anos.