Se trocar n objetos entre duas caixas e depois trocar n de volta, por que algumas quantidades finais são invariantes independentemente das escolhas?

Porque o que é levado e o que volta se complementam, mantendo uma igualdade por conservação do número transferido.

Explicação:
Suponha que a caixa A tenha 8 itens do tipo X e a caixa B tenha 8 itens do tipo Y. Se passam 3 itens de A para B, A fica com \(8-3=5\) itens X. Ao devolver 3 itens de B para A, seja \(r\) o número de itens Y que voltam (\(0\le r\le3\)); então voltam \(3-r\) itens X. Assim, os X em A ao final são \(5+(3-r)=8-r\). Os Y em B ao final são \(8-r\). Logo, as quantidades finais coincidem independentemente de \(r\).

Exemplo:
Inicial: A = 8 verdes, B = 8 vermelhos.
1) Transferem 3 de A para B → A: 5 verdes; B: 8 vermelhos + 3 verdes.
2) Retornam 3 de B para A (com \(r\) vermelhos e \(3-r\) verdes) → A verdes finais: \(5+(3-r)=8-r\); B vermelhos finais: \(8-r\).
Portanto, as quantidades finais coincidem para qualquer escolha.