Como se calcula o n-ésimo termo de uma sequência cujas diferenças sucessivas formam uma progressão aritmética de razão r?

t_n = t_1 + (n-1)d_1 + r\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2}

Explicação:
Se as diferenças sucessivas formam uma PA de primeiro termo d_1 e razão r, então \(d_k=d_1+(k-1)r\).
O n-ésimo termo é dado por \(t_n=t_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k\).
Como \(\sum_{k=1}^{n-1}d_k=(n-1)d_1+r\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2}\), obtém-se a fórmula acima.

Exemplo:
Se \(t_1=10\) e as diferenças são \(2,5,8,\dots\) (logo \(d_1=2\) e \(r=3\)), então
\(t_5=10+(5-1)\cdot2+3\cdot\frac{(5-1)(5-2)}{2}=10+8+18=36\).