Com N grupos distintos e 2 classes por elemento, qual o menor número de elementos necessário para garantir que existam dois elementos do mesmo grupo e da mesma classe?

2N + 1

Explicação:
No pior caso cada um dos N grupos pode ter até 2 elementos em classes diferentes (uma em cada classe), totalizando \(2N\) sem repetir grupo+classe.
Ao adicionar mais 1 elemento, pelo Princípio da Casa dos Pombos, obrigatoriamente haverá uma repetição de grupo e classe, logo o mínimo é \(2N+1\).

Exemplo:
Considere 8 departamentos e funcionários que atuam apenas em administração ou técnico.
No pior caso temos \(2\cdot 8=16\) funcionários sem repetir departamento+função.
Assim, com mais 1 funcionário, total \(2\cdot 8+1=17\), garantimos que existam dois do mesmo departamento e mesma função: \(2N+1=17\).