Qual é o limite máximo do número de elementos na interseção de quatro conjuntos em função das interseções entre pares?

Máximo: não pode exceder a menor das interseções entre pares.

Explicação:
Para quaisquer conjuntos A, B, C, D vale
\( |A\cap B\cap C\cap D| \le |A\cap B| \) e de forma análoga para os demais pares. Portanto
\( |A\cap B\cap C\cap D| \le \min\{|A\cap B|,|A\cap C|,|A\cap D|,|B\cap C|,|B\cap D|,|C\cap D|\}.

Exemplo:
Suponha: \( |A\cap B|=5,\;|A\cap C|=8,\;|A\cap D|=4,\;|B\cap C|=7,\;|B\cap D|=6,\;|C\cap D|=9.\)
Então o máximo comum aos quatro é \( \min\{5,8,4,7,6,9\}=4.\)
É atingível escolhendo exatamente 4 elementos que pertençam a todos os quatro conjuntos; os demais elementos das interseções pares podem ser distribuídos sem pertencer a todos os quatro.