Qual é a menor soma possível de n números inteiros não negativos todos distintos?

\(0+1+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\)

Explicação:
Os menores n inteiros não negativos distintos são \(0,1,\dots,n-1\), pois qualquer outro conjunto distinto teria algum termo maior, aumentando a soma.

Exemplo:
Suponha 8 pessoas e 20 itens. A soma mínima com quantias distintas é
\(0+1+\dots+7=\dfrac{7\cdot8}{2}=28\).
Como 28 > 20, não é possível atribuir quantias distintas a todas — logo, ao menos duas pessoas têm a mesma quantidade.