Como determinar os elementos exclusivos de cada conjunto em um diagrama de Venn de três conjuntos usando a interseção tripla e interseções pares (quando há igualdade entre algumas)

Resposta

Preencher de dentro para fora: subtraia a interseção tripla das interseções pares para obter as partes "somente pares", use variável para interseções iguais e imponha que a soma das 7 regiões = total da união.

Explicação:
1) Seja \(t\) a interseção tripla. Para cada interseção par dada, a parte somente dessa interseção = (interseção par) \(-\,t\).
2) Se duas interseções pares são iguais, ponha \(x\) para esse total; então as partes "somente pares" valem \(x-t\).
3) As partes somente de cada conjunto = total do conjunto \(-\) (soma das partes que ele compartilha com outros: as "somente pares" correspondentes + \(t\)).
4) Some as 7 regiões (3 somente, 3 somente pares e \(t\)) e iguale ao total da união; resolva para \(x\) e calcule as partes.

Exemplo:
Dados: \(U=80,\ t=3,\ A\cap B=12,\ A=35,\ B=30,\ C=40\) e \(A\cap C=B\cap C=x\).
- \( (A\cap B)_{somente}=12-3=9\).
- \( (A\cap C)_{somente}=(B\cap C)_{somente}=x-3\).
- Somente \(A=35-(9+(x-3)+3)=26-x\).
- Somente \(B=30-(9+(x-3)+3)=21-x\).
- Somente \(C=40-((x-3)+(x-3)+3)=43-2x\).
Somando as 7 regiões: \((26-x)+9+(21-x)+(x-3)+3+(x-3)+(43-2x)=80\).
Isso dá \(96-2x=80\Rightarrow x=8\).
Assim: somente \(A=26-8=18\), somente \(B=21-8=13\), somente \(C=43-2\cdot8=27\).
Verificação rápida: \(18+9+13+5+3+5+27=80\) (onde \(x-3=5\)).