Flashcard FC368534
Como montar equações das 7 regiões de um diagrama de Venn para achar o mínimo de elementos que pertencem a pelo menos duas de três categorias, dados os totais de cada categoria, o
Conjuntos
Instituto Consulplan · 2024
Como montar equações das 7 regiões de um diagrama de Venn para achar o mínimo de elementos que pertencem a pelo menos duas de três categorias, dados os totais de cada categoria, o total de nenhum e a interseção tripla?
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Resposta
Defina variáveis para as 7 regiões, use a soma total e os totais por conjunto para obter uma equação para a soma das regiões de interseção; minimize essa soma anulando as interseções não obrigatórias quando possível.Explicação detalhada:
Defina as variáveis: a=só A, b=só B, c=só C, x=A∩B (só), y=A∩C (só), z=B∩C (só), t=A∩B∩C. Use a equação do total (incluindo os que não pertencem a nenhum) e as equações dos totais por conjunto para eliminar a e b e obter uma relação do tipo \(x+t=\text{constante}\) (ou semelhante). O número de elementos em pelo menos duas categorias é \(N=x+y+z+t\). Para obter o mínimo possível, fixe as variáveis que não são forçadas pelas equações (por exemplo y e z) em zero quando compatível com não negatividade, e calcule \(N_{\min}\).
Exemplo:
Considere universo \(500\), nenhum = \(150\), totais: \(A=200\), \(B=220\), \(C=160\), só C = \(30\), tripla \(t=10\). Total em conjuntos: \(500-150=350\). Somando regiões: \(a+b+30+x+y+z+10=350\) ⇒ \(a+b+x+y+z=310\). Dos totais: \(a+x+y+10=200\) ⇒ \(a=190-x-y\). \(b+x+z+10=220\) ⇒ \(b=210-x-z\). Substituindo: \((190-x-y)+(210-x-z)+x+y+z=310\) ⇒ \(400-x=310\) ⇒ \(x=90\). Então \(N=x+y+z+t=90+y+z+10=100+y+z\). Minimizando com \(y=z=0\) obtemos \(N_{\min}=100\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/365146
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