Se A∩B=∅, como montar a equação para encontrar N a partir dos números de não A, não B e do total que pertence exatamente a um dos conjuntos?

Resposta

|A| = N − n_A, |B| = N − n_B; como A∩B = ∅, o total com exatamente um é (N−n_A)+(N−n_B), então escreva (N−n_A)+(N−n_B)=x e resolva para N.

Seja n_A o número que não pertence a A, n_B o número que não pertence a B, e x o número de elementos que pertencem exatamente a um dos conjuntos.
Temos |A| = \(N - n_A\) e |B| = \(N - n_B\).
Como \(A\cap B=\varnothing\), o total com exatamente um é
\( |A|+|B| = (N-n_A)+(N-n_B) = 2N - (n_A+n_B).\)
Portanto \(2N - (n_A+n_B) = x\) e
\(N = \dfrac{x + n_A + n_B}{2}.\)

Exemplo:
Suponha que 50 não têm X, 30 não têm Y e 120 têm exatamente um dos sintomas.
Aqui \(n_A=50\), \(n_B=30\), \(x=120\).
Aplicando a fórmula: \(N = \dfrac{120+50+30}{2} = \dfrac{200}{2} = 100.\)
Verificação: \(|A|=100-50=50,\; |B|=100-30=70,\; |A|+|B|=120.\)