Como calcular o total N a partir das quantidades dos complementos e da interseção usando a fórmula da união?

Usar \( |A|=N-|A^c|,\;|B|=N-|B^c|,\;|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) e \(N=|A\cup B|+|(A\cup B)^c|\).

Explicação:
Substitui-se \( |A| \) e \( |B| \) por \(N-|A^c|\) e \(N-|B^c|\) na fórmula da união para obter \( |A\cup B| \) em função de \(N\) e dos valores dos complementos e de \( |A\cap B| \). Depois usa-se \( N=|A\cup B|+|(A\cup B)^c| \) (quantos não pertencem a nenhum) para resolver \(N\).

Exemplo:
Suponha: 40 não gostam de A (\(|A^c|=40\)), 30 não gostam de B (\(|B^c|=30\)), 10 não gostam de nenhum (\(|(A\cup B)^c|=10\)) e 15 gostam de ambos (\(|A\cap B|=15\)).
Temos \( |A|=N-40,\;|B|=N-30\).
Então \( |A\cup B|=(N-40)+(N-30)-15=2N-85.\)
Como \( N=|A\cup B|+10\), então \( N=(2N-85)+10=2N-75\).
Logo \(N=75\).
Conferindo: \( |A|=35,\;|B|=45,\;|A\cup B|=35+45-15=65\) e \(65+10=75\).