Como determinar |A∩B∩C| a partir de |A|, |B|, |C|, |A∩B|, |B∩C|, |A∩C| e do número de elementos que pertencem a exatamente um dos conjuntos?

Iguale a fórmula da inclusão–exclusão para |A∪B∪C| à soma dos que estão somente em um, dos que estão em exatamente dois e dos que estão nos três, e resolva para |A∩B∩C|.

Explicação e exemplo:
Usar as duas expressões para o total do grupo:

1) Fórmula da inclusão–exclusão:
\(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-(|A\cap B|+|B\cap C|+|A\cap C|)+|A\cap B\cap C|\).

2) Soma por categorias (somente um + exatamente dois + três):
\(|A\cup B\cup C|=(\text{somente um})+(|A\cap B|-x)+(|B\cap C|-x)+(|A\cap C|-x)+x\), onde \(x=|A\cap B\cap C|\).

Iguale as duas expressões e resolva para \(x\).

Exemplo:
Seja \( |A|=50,\;|B|=40,\;|C|=30,\;|A\cap B|=20,\;|B\cap C|=15,\;|A\cap C|=18\) e sabe-se que somente um=35.

Inclusão–exclusão:
\(|A\cup B\cup C|=50+40+30-(20+15+18)+x=67+x.\)

Soma por categorias:
\(|A\cup B\cup C|=35+(20-x)+(15-x)+(18-x)+x=35+53-2x=88-2x.\)

Igualando:
\(67+x=88-2x \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7.\)

Portanto, 7 elementos pertencem simultaneamente a \(A\cap B\cap C\).