Por que não existe número inteiro que seja simultaneamente par e ímpar?

Explicação:
Um número é par se pode ser escrito na forma \(2k\) e é ímpar se pode ser escrito na forma \(2k+1\), com \(k\) inteiro.
Não existe inteiro que satisfaça ambas as formas ao mesmo tempo, pois igualando \(2a=2b+1\) levaria a \(1=2(b-a)\), o que é impossível (lado esquerdo ímpar, direito par).

Exemplo:
Suponha que exista \(n\) inteiro tal que \(n\) seja par e ímpar. Então existem inteiros \(p,q\) com \(n=2p\) e \(n=2q+1\).
Igualando: \(2p=2q+1 \Rightarrow 1=2(q-p)\), absurdo. Logo, tal \(n\) não existe.