Flashcard FC368636
Qual é a soma de todos os divisores positivos de \(p^n\), com \(p\) primo e \(n\in\mathbb{N}\)?
Conjuntos
Instituto Consulplan · 2024
Qual é a soma de todos os divisores positivos de \(p^n\), com \(p\) primo e \(n\in\mathbb{N}\)?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
\( \displaystyle \frac{p^{\,n+1}-1}{p-1} \)Explicação:
Os divisores positivos de \(p^n\) são exatamente \(p^k\) para \(k=0,1,\dots,n\).
Portanto somamos a progressão geométrica \( \sum_{k=0}^{n}p^k\), cuja soma é \( \displaystyle \frac{p^{\,n+1}-1}{p-1}\).
Exemplo:
Para \(3^4\): divisores = \(1,3,9,27,81\).
Somando: \(1+3+9+27+81=\sum_{k=0}^{4}3^k\).
Usando a fórmula: \( \displaystyle \frac{3^{5}-1}{3-1}=\frac{243-1}{2}=\frac{242}{2}=121\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/365248
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em