Como resolver um sistema linear com coeficientes decimais quando as incógnitas devem ser números inteiros?

Multiplique por uma potência de 10 que elimine as casas decimais, resolva o sistema inteiro resultante e verifique que as soluções são inteiras (pode usar congruências para agilizar).

Explicação e exemplo:
Considere três itens com preços R$ 2,30, R$ 1,75 e R$ 0,95, total de 50 itens e custo total R$ 79,70. Seja \(a,b,c\) as quantidades: \(a+b+c=50\) e \(2{,}30a+1{,}75b+0{,}95c=79{,}70\).
Multiplique por 100 para eliminar decimais:
\(230a+175b+95c=7970\).
Substitua \(c=50-a-b\):
\(230a+175b+95(50-a-b)=7970\).
Simplificando:
\(230a+175b+4750-95a-95b=7970\)
\(\Rightarrow135a+80b=3220\).
Divida por 5: \(27a+16b=644\).
Resolva módulo 16: \(27a\equiv644\pmod{16}\Rightarrow11a\equiv4\pmod{16}\).
O inverso de 11 mod 16 é 3, então \(a\equiv3\cdot4\equiv12\pmod{16}\). Escolhendo \(a=12\) (entre 0 e 50) e substituindo:
\(27\cdot12+16b=644\Rightarrow324+16b=644\Rightarrow b=20\).
Logo \(c=50-12-20=18\).
Resultado: \(a=12,\; b=20,\; c=18\).