Flashcard FC368732
Como você determina, a partir da expansão decimal, se um número é racional ou irracional?
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Instituto Consulplan · 2024
Como você determina, a partir da expansão decimal, se um número é racional ou irracional?
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Resposta
Um número é racional se sua expansão decimal é periódica a partir de alguma posição; se não há período fixo, é irracional.Explicação:
Racional → periódica: Se x tem período de comprimento p a partir de certa casa, então existe m inteiro tal que \(10^p x - x\) é inteiro, logo \(x\) é razão de inteiros. Exemplo: \(0.\overline{142857}\).
\(x=0.\overline{142857}\Rightarrow 10^6x-x=142857\Rightarrow x=\dfrac{142857}{999999}=\dfrac{1}{7}.\)
Irracional → não periódica: Se não existe p e posição a partir da qual os dígitos se repetem, não se pode escrever a expansão como período fixo, logo não é racional. Exemplo prático diferente do enunciado: Considere \(y=0.101001000100001\ldots\) onde os blocos de zeros aumentam de tamanho. Não existe período fixo p que reproduza esses dígitos indefinidamente, portanto \(y\) é irracional.
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