De acordo com o assunto Matemática: Conjuntos, responda: A soma de um número racional não nulo com um número irracional é sempre irracional? Explique.

Resposta

Sim.

Prova por contradição:
Seja \(r\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) e \(x\) irracional.
Suponha \(r+x\in\mathbb{Q}\).
Como \(\mathbb{Q}\) é fechado para subtração, \(x=(r+x)-r\in\mathbb{Q}\), o que contradiz que \(x\) é irracional.
Logo, \(r+x\) é irracional.

Exemplo:
Tome \(r=\tfrac{3}{2}\in\mathbb{Q}\) e \(x=\sqrt{2}\) (irracional).
Se \(\tfrac{3}{2}+\sqrt{2}\) fosse racional, então \(\sqrt{2}=(\tfrac{3}{2}+\sqrt{2})-\tfrac{3}{2}\) seria racional, contradição.
Portanto \(\tfrac{3}{2}+\sqrt{2}\) é irracional.