Como contar permutações de N elementos em que um par específico deve estar sempre adjacente e outro par específico não pode ficar adjacente?

Agrupe o par que deve ser adjacente em um bloco, permute e subtraia as permutações em que o outro par também fica adjacente.

Trate o par obrigatório como um bloco, reduzindo os itens para \(N-1\); há \((N-1)!\) permutações desse bloco com os demais e \(2!\) ordens internas, total \((N-1)!\times2!\).
Conte as disposições em que ambos os pares ficam adjacentes formando dois blocos: \((N-2)!\times2!\times2!\).
Subtraia para obter o desejado:
\((N-1)!\times2! - (N-2)!\times2!\times2!\).

Exemplo:
Para \(N=5\) com elementos A,B,C,D,E, querer A e B adjacentes e C e D não adjacentes:
\((5-1)!\times2! - (5-2)!\times2!\times2! = 4!\times2 - 3!\times2\times2 = 24\times2 - 6\times4 = 48 - 24 = 24\).