Como calcular o número de maneiras de escolher m itens adicionais, um de cada entre categorias distintas, quando um item obrigatório já está fixo?

Multiplica-se o número de opções de cada categoria escolhida e soma-se esses produtos para todas as combinações de categorias possíveis.

Explicação:
Com um item obrigatório fixo, restam n categorias e é preciso escolher m delas, uma amostra de cada. Para cada escolha de m categorias, o total de maneiras é o produto das quantidades de opções dessas categorias. O total final é a soma desses produtos sobre todas as combinações \((\text{escolha } m \text{ entre } n)\).

Exemplo:
Temos categorias com opções: A=3, B=4, C=2, D=5. Item obrigatório já fixo. Queremos escolher m=2 itens adicionais de categorias distintas entre A,B,C,D.
Calculamos todas as combinações de 2 categorias e multiplicamos suas opções:
\(3\times4=12\) (A e B)
\(3\times2=6\) (A e C)
\(3\times5=15\) (A e D)
\(4\times2=8\) (B e C)
\(4\times5=20\) (B e D)
\(2\times5=10\) (C e D)
Soma: \(12+6+15+8+20+10=71\). Portanto, existem 71 maneiras.