Flashcard FC368765
Como calcular o número de combinações com a condição "pelo menos k elementos de um tipo" ao escolher r itens de um conjunto dividido em dois tipos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Consulplan · 2025
Como calcular o número de combinações com a condição "pelo menos k elementos de um tipo" ao escolher r itens de um conjunto dividido em dois tipos?
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Resposta
Somar os casos com exatamente k, k+1, ..., r elementos do tipo desejado: \( \displaystyle \sum_{i=k}^{r}\binom{W}{i}\binom{M}{r-i}\)Explicação completa:
Para escolher r itens com no mínimo k do tipo "W" (resto são do tipo "M"), conte todas as escolhas com exatamente i elementos de W para i=k,...,r. Cada termo é \(\binom{W}{i}\binom{M}{r-i}\). Alternativamente, usar complemento: total \(\binom{W+M}{r}\) menos os casos com
exemplo: Há 5 mulheres (W) e 8 homens (M). Escolher r=4 com pelo menos k=2 mulheres.
Somando diretamente:
\(i=2:\ \binom{5}{2}\binom{8}{2}=10\cdot28=280\)
\(i=3:\ \binom{5}{3}\binom{8}{1}=10\cdot8=80\)
\(i=4:\ \binom{5}{4}\binom{8}{0}=5\cdot1=5\)
Total = \(280+80+5=365\).
Usando complemento:
\(\binom{13}{4}=715\) e casos com <2 mulheres: \( \binom{5}{0}\binom{8}{4}=70,\ \binom{5}{1}\binom{8}{3}=280\).
Então \(715-(70+280)=365\).
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Veja como foi cobrado:
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