Como contar distribuições de n objetos distintos em k caixas distintas, com cada caixa recebendo pelo menos um objeto?

Somar, para cada composição ordenada \( (n_1,\dots,n_k) \) de \(n\) em \(k\) partes positivas, o multinomial \( \displaystyle \frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}\).

Isso ocorre porque uma composição fixa indica quantas posições cada caixa terá e o número de escolhas de quais objetos vão para cada caixa é dado pelo coeficiente multinomial.

Exemplo:
Distribuir 5 alunos em 3 turmas, nenhuma vazia.
Composições ordenadas de 5 em 3 partes: (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2).
Para (3,1,1): \( \dfrac{5!}{3!1!1!}=20\) → 3 ordens ⇒ \(3\times20=60\).
Para (2,2,1): \( \dfrac{5!}{2!2!1!}=30\) → 3 ordens ⇒ \(3\times30=90\).
Total = \(60+90=150\).