Como se calcula o total de maneiras de formar um grupo escolhendo r1 de n1 e r2 de n2 categorias distintas, quando as escolhas são independentes?

Multiplica-se as combinações: \(\displaystyle \binom{n_1}{r_1}\cdot\binom{n_2}{r_2}\).

Explicação.
A regra do produto diz que, se uma escolha pode ser feita de \(\binom{n_1}{r_1}\) formas e outra, independentemente, de \(\binom{n_2}{r_2}\) formas, o total de pares de escolhas é o produto dessas quantidades.
Assim, para selecionar \(r_1\) elementos dentre \(n_1\) e \(r_2\) dentre \(n_2\) usa-se \(\binom{n_1}{r_1}\cdot\binom{n_2}{r_2}\).

Exemplo:
Suponha 5 engenheiros e 9 técnicos; formar uma equipe com 2 engenheiros e 3 técnicos:
\(\binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10\)
\(\binom{9}{3}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84\)
Total = \(10\cdot84=840\) maneiras.