Flashcard FC368806
Como calcular o número de maneiras de escolher, no máximo, r objetos distintos, garantindo pelo menos um de cada de duas categorias com n e m itens?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Consulplan · 2024
Como calcular o número de maneiras de escolher, no máximo, r objetos distintos, garantindo pelo menos um de cada de duas categorias com n e m itens?
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Resposta
Somar as escolhas por distribuição: para cada i,j com \(1\le i\le n\), \(1\le j\le m\) e \(i+j\le r\), calcular \(\binom{n}{i}\binom{m}{j}\) e somar.Explicação completa:
Contagem por casos: considere todo total t de itens escolhidos, com \(2\le t\le r\).
Para cada t, distribua i itens na categoria A e \(t-i\) na categoria B, com \(1\le i\le t-1\).
O número de maneiras para essa distribuição é \(\binom{n}{i}\binom{m}{t-i}\).
Logo o total é
\(\displaystyle \sum_{t=2}^{r}\sum_{i=1}^{t-1}\binom{n}{i}\binom{m}{t-i}\).
Exemplo: seja \(n=5\), \(m=4\), \(r=3\).
Casos:
- \(t=2\): \(i=1\) → \(\binom{5}{1}\binom{4}{1}=5\cdot4=20\).
- \(t=3\): \(i=1\) → \(\binom{5}{1}\binom{4}{2}=5\cdot6=30\); \(i=2\) → \(\binom{5}{2}\binom{4}{1}=10\cdot4=40\).
Total = \(20+30+40=90\).
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/365418
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