Como calcular o número de ordenações quando elementos formam grupos que devem permanecer juntos?

Trate cada grupo como um bloco; permute os blocos e multiplique pelas permutações internas: \(k!\cdot n_1!\cdot n_2!\cdots n_k!\).

Explicação:
Considere que há k grupos que devem ficar juntos, com tamanhos n₁, n₂, ..., n_k.
Primeiro, organize os k blocos entre si: isso dá \(k!\) maneiras.
Depois, para cada bloco, permute os seus elementos: isso dá \(n_1!, n_2!,\dots,n_k!\) maneiras.
Como as escolhas são independentes, multiplica-se tudo: total = \(k!\cdot n_1!\cdot n_2!\cdots n_k!\).

Exemplo:
Suponha 3 grupos com 4, 2 e 3 elementos. Então o total é
\(3!\cdot4!\cdot2!\cdot3! = 6\cdot24\cdot2\cdot6 = 1728\).