Se dois triângulos semelhantes têm razão linear de semelhança \(k\), qual é a razão entre suas áreas?

A razão entre as áreas é \(k^2\).

Justificativa:
Em triângulos semelhantes, lados correspondentes variam na mesma razão k.
A área depende de base × altura, então cada dimensão se escala por k, levando a escala da área por \(k\cdot k=k^2\).

Exemplo:
Um triângulo com base 8 e altura 6 tem área \(A_1=\tfrac{8\cdot6}{2}=24\).
Se o triângulo semelhante tem razão linear \(k=\tfrac{3}{4}\), a nova base é \(8\cdot\tfrac{3}{4}=6\) e a nova altura é \(6\cdot\tfrac{3}{4}=4.5\).
A área do segundo triângulo é \(A_2=\tfrac{6\cdot4.5}{2}=13.5\), que coincide com \(A_2=A_1\cdot k^2=24\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)^2=24\cdot\tfrac{9}{16}=13.5\).