Em anagramas de uma palavra com n letras distintas, como calcular a probabilidade de que k posições específicas sejam ocupadas por letras de um subconjunto com m letras?

Contar anagramas totais e favoráveis fixando as posições e permutando o restante; calcular \(P=\dfrac{\text{favoráveis}}{\text{totais}}\).

Explicação:
Para n letras distintas o total de anagramas é \(n!\).
Se queremos que k posições específicas sejam ocupadas por letras de um conjunto de m letras (sem repetição), o número de maneiras de escolher e ordenar essas k letras é \(m\cdot(m-1)\cdots(m-k+1)\).
As restantes \(n-k\) letras podem ser permutadas de \((n-k)!\) formas. Assim os casos favoráveis são
\(m\cdot(m-1)\cdots(m-k+1)\times (n-k)!\).
Logo a probabilidade pode ser escrita como
\(P=\dfrac{m\cdot(m-1)\cdots(m-k+1)\,(n-k)!}{n!}=\dfrac{m\cdot(m-1)\cdots(m-k+1)}{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}\).

Exemplo:
Considere a palavra BANCO (n=5, todas distintas). Desejamos que a 1ª e a última letras sejam vogais; o conjunto de vogais tem m=2 (A,O) e k=2 posições.
Totais: \(5!=120\).
Favoráveis: escolher e ordenar as vogais nas 2 posições: \(2\cdot1\) e permutar o meio: \((5-2)!=3!\).
Assim favoráveis = \(2\cdot1\cdot 3!=2\cdot6=12\).
Portanto \(P=\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}\).