Como se calcula a probabilidade de que pelo menos um elemento de um tipo específico seja escolhido ao selecionar k itens, usando análise combinatória?

1 − P(nenhum), com P(nenhum) = \(\dfrac{\binom{n_{\text{não}}}{k}}{\binom{N}{k}}\)

Explicação:
Usa-se o complemento: conta-se as seleções sem nenhum elemento do tipo desejado e divide-se pelo total de seleções.
O total de formas é \(\binom{N}{k}\).
As formas sem o tipo são \(\binom{n_{\text{não}}}{k}\).
Logo a probabilidade pedida é \(1-\dfrac{\binom{n_{\text{não}}}{k}}{\binom{N}{k}}\).

exemplo:
Há 5 engenheiros e 4 designers (N=9). Escolhem-se k=3 ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um designer?
Sem designers: \(\binom{5}{3}=10\). Total: \(\binom{9}{3}=84\).
Portanto \(P(\text{nenhum designer})=\dfrac{10}{84}=\dfrac{5}{42}\).
Logo \(P(\text{pelo menos um designer})=1-\dfrac{5}{42}=\dfrac{37}{42}\approx0{,}8810\).