Como calcular a probabilidade de dois elementos escolhidos ao acaso pertencerem ao mesmo grupo quando N itens estão divididos em k grupos iguais?

Calcule \( \dfrac{k\binom{m}{2}}{\binom{N}{2}} \), onde \(m=\dfrac{N}{k}\).

Explicação:
Calcule \(m=\dfrac{N}{k}\) (tamanho de cada grupo).
O número total de pares é \(\binom{N}{2}\).
O número de pares dentro dos grupos (casos favoráveis) é \(k\binom{m}{2}\).
Logo \(P=\dfrac{k\binom{m}{2}}{\binom{N}{2}}\).

Exemplo:
Suponha \(N=30\) e \(k=5\). Então \(m=\dfrac{30}{5}=6\).
Total de pares: \(\binom{30}{2}=435\).
Favoráveis: \(5\binom{6}{2}=5\cdot15=75\).
Assim \(P=\dfrac{75}{435}=\dfrac{5}{29}\approx0,1724\).