Como se calculam E[N] e E[F] (fila) a partir da distribuição P_n para um sistema com s servidores?

E[N] = \( \sum_{n} n\,P_n \)
E[F] = \( \sum_{n} \max(n-s,0)\,P_n \)

Explicação:
A esperança do número no sistema é a soma ponderada dos valores possíveis peloas probabilidades.
A quantidade em fila, dado s servidores, é \( (n-s)^+=\max(n-s,0) \); sua esperança é a soma desses termos ponderados por \(P_n\).

exemplo:
Considere s=3 e distribuição \(P_0=0{,}10,\;P_1=0{,}20,\;P_2=0{,}30,\;P_3=0{,}20,\;P_4=0{,}15,\;P_5=0{,}05\).
Calcula-se
\(E[N]=\sum_{n=0}^5 nP_n=0\cdot0{,}10+1\cdot0{,}20+2\cdot0{,}30+3\cdot0{,}20+4\cdot0{,}15+5\cdot0{,}05=2{,}25\).
Para a fila (s=3): apenas n≥4 contribuem, com (n-3):
\(E[F]=1\cdot0{,}15+2\cdot0{,}05=0{,}15+0{,}10=0{,}25\).