Como se calcula o valor esperado de \(Y=aV+b\) quando \(V\) é variável aleatória contínua com densidade \(f(v)\)?

Resposta

E[Y]=aE[V]+b, onde E[V]=\int v\,f(v)\,dv sobre o suporte de \(V\).

Explicação:
Pela linearidade da esperança, \(E[aV+b]=aE[V]+b\). Para uma variável contínua, calcula-se \(E[V]\) integrando \(v\) multiplicado pela densidade: \(E[V]=\int_{\text{suporte}} v\,f(v)\,dv\).
Exemplo:
Considere \(f(v)=\dfrac{v}{2}\) para \(0\le v\le2\) (e 0 caso contrário).
Calcule \(E[V]=\int_0^2 v\cdot\frac{v}{2}\,dv=\frac{1}{2}\int_0^2 v^2\,dv=\frac{1}{2}\left[\frac{v^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.\)
Se \(Y=3V+5\) então \(E[Y]=3E[V]+5=3\cdot\frac{4}{3}+5=4+5=9\).