Flashcard FC369237
Ao linearizar o modelo exponencial \(y=\alpha e^{\beta x}\), qual soma dos quadrados deve ser minimizada para estimar \(\alpha\) e \(\beta\)?
Característica dos Estimadores
Instituto Consulplan · 2024
Ao linearizar o modelo exponencial \(y=\alpha e^{\beta x}\), qual soma dos quadrados deve ser minimizada para estimar \(\alpha\) e \(\beta\)?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Minimiza-se \(\sum_{i=1}^n (\ln(y_i)-\ln(\alpha)-\beta x_i)^2\).Explicação:
Ao tomar \(z_i=\ln(y_i)\) formam-se pares \((z_i,x_i)\) e aplica-se MQO na regressão linear simples \(z=\ln(\alpha)+\beta x\).
Estimadores:
\(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(\ln y_i-\overline{\ln y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}\)
\(\displaystyle \widehat{\ln\alpha}=\overline{\ln y}-\hat\beta\,\bar x,\quad \hat\alpha=e^{\widehat{\ln\alpha}}\)
exemplo
Dados: \((0,2),(1,4),(2,8)\).
Calcule \(\ln y\): \(0.693,\,1.386,\,2.079\).
\(\bar x=1,\ \overline{\ln y}=(0.693+1.386+2.079)/3=1.386\).
Numerador: \((0-1)(0.693-1.386)+(1-1)0+(2-1)(2.079-1.386)=1.386\).
Denominador: \((-1)^2+0+1^2=2\).
\(\hat\beta=1.386/2=0.693,\ \widehat{\ln\alpha}=1.386-0.693\cdot1=0.693\).
Portanto \(\hat\alpha=e^{0.693}=2,\ \hat\beta=0.693\) (modelo ajustado \(y\approx 2e^{0.693x}\)).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/365849
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em