Flashcard FC369239
Pelo Teorema da Fatorização, como se identifica uma estatística conjunta suficiente quando a verossimilhança depende dos dados apenas por certos somatórios?
Característica dos Estimadores
Instituto Consulplan · 2025
Pelo Teorema da Fatorização, como se identifica uma estatística conjunta suficiente quando a verossimilhança depende dos dados apenas por certos somatórios?
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Resposta
Identificando as funções dos dados (somatórios) que aparecem na verossimilhança; essas funções formam a estatística conjunta suficiente.Explicação e exemplo:
Se a verossimilhança pode ser escrita como produto de uma função que depende dos parâmetros apenas através de certos somatórios de observações e de outra função que não depende dos parâmetros, então esses somatórios são suficientes (Teorema da Fatorização).
Exemplo: Considere \(Y_1,\dots,Y_n\overset{iid}{\sim}Normal(\mu,\sigma^2)\). A verossimilhança é
\(L(\mu,\sigma^2)\propto(\sigma^2)^{-n/2}\exp\!\left\{-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (Y_i-\mu)^2\right\}.\)
Expandindo: \(\sum_{i=1}^n (Y_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^n Y_i^2-2\mu\sum_{i=1}^n Y_i+n\mu^2.\)
Logo, a verossimilhança depende dos dados apenas por \(\sum_{i=1}^n Y_i\) e \(\sum_{i=1}^n Y_i^2\). Portanto \(\big(\sum_{i=1}^n Y_i,\;\sum_{i=1}^n Y_i^2\big)\) é estatística conjunta suficiente para \(\mu\) e \(\sigma^2\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/365851
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