Flashcard FC369244
Como se calculam as probabilidades dos erros tipo I e tipo II em um teste da média quando a variável é normal com variância conhecida e o critério de rejeição é baseado em \(\overl
Testes de Hipóteses
Instituto Consulplan · 2025
Como se calculam as probabilidades dos erros tipo I e tipo II em um teste da média quando a variável é normal com variância conhecida e o critério de rejeição é baseado em \(\overline{X}\)?
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Resposta
Calcule a distribuição de \(\overline{X}\), padronize o ponto de corte e avalie:Tipo I = \(P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0)\), Tipo II = \(P(\text{não rejeitar }H_0\mid H_1)\).
Se \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) e \(n\) é a amostra, então \(\overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)\) e \(\text{se}=\sigma/\sqrt{n}\). Para um corte \(c\) com região de rejeição \(\{\overline{X}\ge c\}\):
\( \text{Erro Tipo I} = P(\overline{X}\ge c\mid\mu=\mu_0)=P\!\left(Z\ge\dfrac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=1-\Phi\!\left(\dfrac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\).
\( \text{Erro Tipo II} = P(\overline{X}< c\mid\mu=\mu_1)=P\!\left(Z<\dfrac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=\Phi\!\left(\dfrac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\).
Exemplo:
Suponha \(\sigma^2=9\) (\(\sigma=3\)), \(n=16\), \(\mu_0=5\), \(\mu_1=8\) e corte \(c=6{,}5\).
Se \( \text{se}=\sigma/\sqrt{n}=3/4=0{,}75\), então
\(z_{I}=\dfrac{6{,}5-5}{0{,}75}=2\Rightarrow\) Tipo I \(=1-\Phi(2)\).
\(z_{II}=\dfrac{6{,}5-8}{0{,}75}=-2\Rightarrow\) Tipo II \(=\Phi(-2)=1-\Phi(2)\).
Veja como foi cobrado:
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