Como se calcula o coeficiente angular estimado e como se obtém a previsão \(\hat y(x_0)\) no modelo de regressão linear simples por mínimos quadrados?

β̂ = \(\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\); α̂ = \(\bar y-\hat\beta\bar x\); \(\hat y(x_0)\) = α̂ + β̂·\(x_0\).

Explicação e exemplo:
Dados (X,Y): (0,50), (4,46), (8,42).
Calcule médias: \(\bar x=4\), \(\bar y=46\).
\(S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2=(0-4)^2+(4-4)^2+(8-4)^2=16+0+16=32\).
\(S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=(0-4)(50-46)+(4-4)(46-46)+(8-4)(42-46)=-16+0-16=-32\).
\(\hat\beta=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{-32}{32}=-1\).
\(\hat\alpha=\bar y-\hat\beta\bar x=46-(-1)\cdot4=50\).
Previsão em \(x_0=6\): \(\hat y(6)=50+(-1)\cdot6=44\).