Como calcular o tamanho amostral n, via Teorema Central do Limite, para garantir \(P(|\overline{X}-\mu|>\varepsilon)=\alpha\) quando o desvio padrão \(\sigma\) é conhecido?

\(n \approx \left(\dfrac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{\varepsilon}\right)^2\).

Pelo Teorema Central do Limite, \(\overline{X}\approx N(\mu,\sigma^2/n)\). Queremos \(P(|\overline{X}-\mu|>\varepsilon)=\alpha\Rightarrow 2P\!\left(Z>\dfrac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\alpha\).
Logo \(z_{1-\alpha/2}=\dfrac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\) e isolando \(n\): \(n\approx\left(\dfrac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{\varepsilon}\right)^2\).

Exemplo:
Suponha \(\sigma=4\) kg, margem \(\varepsilon=0{,}5\) kg e \(\alpha=0{,}05\) (\(z_{0{,}975}=1{,}96\)).
Calcule: \(n\approx\left(\dfrac{1{,}96\cdot 4}{0{,}5}\right)^2=\left(\dfrac{7{,}84}{0{,}5}\right)^2=\left(15{,}68\right)^2\approx 245{,}86\).
Arredondando: \(n\approx 246\).