Como se padroniza a soma de variáveis i.i.d. para aplicar o Teorema Central do Limite e calcular P(S_n ≤ a)?

Padroniza-se por \(Z=\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\); então \(P(S_n\le a)\approx P\!\left(Z\le\dfrac{a-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\right).\)

Explicação:
Para variáveis i.i.d. com \(\mathbb{E}(X)=\mu\) e \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\), tem-se \(\mathbb{E}(S_n)=n\mu\) e \(\mathrm{Var}(S_n)=n\sigma^2\). Pelo TCL, \(S_n\) é aproximada por \(N(n\mu,n\sigma^2)\). Padronizando obtemos o \(Z\) acima; calcule \(z=(a-n\mu)/(\sigma\sqrt{n})\) e use a tabela da normal padrão.

Exemplo:
Suponha \(\mu=10\), \(\mathrm{Var}=4\) (\(\sigma=2\)) e \(n=36\).
\(\mathbb{E}(S_{36})=36\cdot10=360,\quad \mathrm{sd}(S_{36})=\sigma\sqrt{n}=2\sqrt{36}=12.\)
Para \(a=340\): \(z=\dfrac{340-360}{12}=-1{,}6667\).
Logo \(P(S_{36}\le340)\approx \Phi(-1{,}6667)\approx 0{,}0475.\)