Qual a fórmula para o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto finito com n elementos e qual é a definição de conjuntos disjuntos?

\(2^n\).

Dois conjuntos são disjuntos se \(A\cap B=\varnothing\), ou seja, não têm elementos em comum.

Cada elemento do conjunto original tem duas opções: estar ou não em um subconjunto, gerando o produto de escolhas \(2\cdot2\cdots2=2^n\).

Exemplo:
S seja \( \{x,y,z\}\). O conjunto das partes é
\(\mathcal{P}(S)=\{\varnothing,\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}\),
portanto \(|\mathcal{P}(S)|=2^3=8\).

Exemplo:
Se \(A=\{1,2\}\) e \(B=\{3,4\}\), então \(A\cap B=\varnothing\), logo \(A\) e \(B\) são disjuntos.