Qual a fórmula do princípio da inclusão–exclusão para a união de três conjuntos e por que é preciso somar a interseção tripla?

\( |A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C| \)

A soma inicial conta as interseções em dobro, por isso subtrai-se cada interseção dupla; a interseção tripla foi subtraída três vezes (uma em cada interseção dupla) e por isso deve ser somada de volta.

Exemplo:
Em um clube, 12 membros praticam futebol, 9 praticam basquete, 7 praticam vôlei; 5 praticam futebol e basquete, 3 praticam futebol e vôlei, 2 praticam basquete e vôlei; 1 pratica os três.
Aplicando a fórmula:
\( |F\cup B\cup V| = 12+9+7 - 5-3-2 + 1 = 19 \).
Portanto, 19 membros praticam pelo menos um dos esportes.