Como derivar a densidade a partir da CDF e qual condição em α garante E(X) finita para a distribuição de Pareto?

PDF:
\(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)=\dfrac{\alpha\theta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}},\quad x\ge\theta\)
Média:
\(E(X)=\int_{\theta}^{\infty}x f(x)\,dx=\alpha\theta^{\alpha}\int_{\theta}^{\infty}x^{-\alpha}\,dx=\dfrac{\alpha\theta}{\alpha-1}\)
Condição: \(\alpha>1\)