Se (B_t) é movimento browniano padrão, qual a distribuição de B_t condicionada a B_s = x para t > s?

Distribuição condicional:
\(B_t\mid B_s=x \sim N\big(x,\,t-s\big)\)

\(B_t=B_s+(B_t-B_s),\quad B_t-B_s\sim N(0,t-s)\)

\(P(B_t>a\mid B_s=x)=P\!\Big(Z>\dfrac{a-x}{\sqrt{t-s}}\Big)\)